Método de los envolventes
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la Animación 3.
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en la Animación 4.ólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal y = 0 y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.
Dividamos el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], todos con el mismo ancho: Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de f (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura f (xi*) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi.. Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros y después sumar los volúmenes de todos ellos:
Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la Animación 5 y después sumar los volúmenes de todos ellos:
Ejemplo:
Volvamos al problema planteado al comienzo de esta página, el de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3. Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la Animación 6 y por eso, la integral para el volumen es:
